Question

如圖，離心率為

2

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線l：x=-2相切于點A（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OA是圓C的直徑，P（x₀，y₀）（x₀＞0）為橢圓上的動點，過P作圓C的兩條切線，分別交直線l于點M、N，求當

PM

•

PN

取得最小值時P點的橫坐標x₀．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由題：a=2，利用離心率為

2

2

，求出c，從而可求b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）切線PM、PN的斜率均存在，設為k₁、k₂，利用直線PM、PN與圓C相切，可得k₁、k₂是關于k的方程(x02+2x0)k2-2y0(x0+1)k+y02-1=0的兩個根，利用向量表示出

PM

•

PN

，構建函數，利用函數的性質，即可求當

PM

•

PN

取得最小值時P點的橫坐標x₀．

解答： 解：（Ⅰ）由題：a=2，又e=

c

a

=

2

2

，∴c=

2

，從而b=

2

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．          …．（4分）
（Ⅱ）由題意，圓C的方程為（x+1）²+y²=1．
∵x₀＞0，∴切線PM、PN的斜率均存在，設為k₁、k₂，
則直線PM：y-y₀=k₁（x-x₀），
由其與圓C相切得：

|(x0+1)k1-y0|

1+k12

=1，…（6分）
化簡得：(x02+2x0)k12-2y0(x0+1)k1+y02-1=0
同理：(x02+2x0)k22-2y0(x0+1)k2+y02-1=0
∴k₁、k₂是關于k的方程(x02+2x0)k2-2y0(x0+1)k+y02-1=0的兩個根△=[-2y0(x0+1)]2-4(x02+2x0)(y02-1)=4(x02+2x0+y02)＞0恒成立．
k1+k2=

2y0(x0+1)

x02+2x0

，k₁k₂=

y02-1

x02+2x0

，…．（9分）
M（-2，y₀-（2+x₀）k₁），N（-2，y₀-（2+x₀）k₂），
∴

PM

=(-2-x0，-（2+x₀）k₁），

PN

=(-2-x0，-（2+x₀）k₂），
∴

PM

•

PN

=(2+x0)2+(2+x0)2k1k2=(2+x0)2[1+

y02-1

x02+2x0

]=

(x0+2)(x02+4x0+2)

2x0

=f（x₀）…．（12分）
f′(x0)=

x03+3x02-2

x02

=

x0+1

x02

(x0+

3

+1)(x0-

3

+1)，x₀∈（0，2]
∴f（x₀）在（0，

3

-1)上單調遞減，在(

3

-1，2]上單調遞增，
∴當x₀=

3

-1時，f（x₀）取得最小值，即

PM

•

PN

取得最小值．   …．（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，綜合性強．