Question

已知命題p：方程x2+

y2

k-t

=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：函數f（x）=x²-kx+1有兩個不同的零點．
（1）當t=0時，“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求實數k的取值范圍；
（2）若p是￢q的必要不充分條件，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當t=0時，分別求出命題p，q的等價條件，然后利用，“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求實數k的取值范圍；
（2）求出命題￢q，利用p是￢q的必要不充分條件，求實數t的取值范圍．

解答：解：（1）當t=0，若方程x2+

y2

k-t

=1表示焦點在y軸上的橢圓，則k＞1，
即p：k＞1．
∵函數f（x）=x²-kx+1有兩個不同的零點．
∴△=k²-4＞0，解得k＞2或k＜-2，即q：k＞2或k＜-2．
∵“p∨q”為真，且“p∧q”為假，
∴p，q一真，一假，
若p真q假，則

k＞1 -2≤k≤2

，解得1＜k≤2，
若p假q真，則

k≤1 k＞2或k＜-2

，解得k＜-2，
綜上1＜k≤2或k＜-2．
（2）若方程x2+

y2

k-t

=1表示焦點在y軸上的橢圓，
則k-t＞1，即p：k＞t+1．
由（1）知q：k＞2或k＜-2，
∴￢q：-2≤k≤2．
要使p是￢q的必要不充分條件，
則￢q⇒p，但p⇒￢q不成立．
即：t+1＜-2，解得t＜-3

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，以及利用充分條件和必要條件的應用，利用數軸是解決此類問題的基本方法．