Question

【題目】設A是圓O：x2+y2＝16上的任意一點，l是過點A且與x軸垂直的直線，B是直線l與x軸的交點，點Q在直線l上，且滿足4|BQ|＝3|BA|．當點A在圓O上運動時，記點Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）已知直線y＝kx﹣2（k≠0）與曲線C交于M，N兩點，點M關于y軸的對稱點為M′，設P（0，﹣2），證明：直線M′N過定點，并求△PM′N面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）證明見解析,△PM′N面積的最大值為

【解析】

（1）點在圓上運動，引起點的運動，我們可以由，得到點和點坐標之間的關系式，并由點的坐標滿足圓的方程得到點坐標所滿足的方程；

（2）設，，，，則，，聯立，得，利用直線的斜率，求直線的方程，即可直線過定點，并求出面積的最大值．

解：（1）設，，，，在直線上，

，．①

點在圓上運動，．②

將①式代入②式即得曲線的方程為．

證明：（2）設，，，，則，，

聯立，得，

，．

直線的斜率，

直線的方程為．

令，得，

直線過定點．

面積，

當且僅當，即時取等號，

面積的最大值為．