Question

已知橢圓C：(a＞b＞0)的左準線恰為拋物線E：y² = 16x的準線，直線l：x + 2y – 4 = 0與橢圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）如果橢圓C的左頂點為A，右焦點為F，過F的直線與橢圓C交于P、Q兩點，直線AP、AQ與橢圓C的右準線分別交于N、M兩點，求證：四邊形MNPQ的對角線的交點是定點．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 橢圓的右頂點

（1）由題知拋物線y² = 16x的準線方程為x =" –" 4，這也是橢圓的左準線方程．設橢圓的右焦點為F(c，0)，其中c =，則，即a² = 4c．①


由消去x，得．
由于直線x + 2y – 4 = 0與橢圓C相切，所以
．
即4b² + a² – 16 = 0，所以4(a² – c²) + a² – 16 = 0，
整理得5a² –4c² – 16 = 0．                              ②
將①代入②得5×4c – 4c² – 16 = 0，即c² – 5c + 4 = 0，解得c = 1或4．
由于c＜a＜． 所以c = 1．所以a² = 4，b² = 3．所以橢圓C的方程為． 5分
（2）由（1）知，A(–2，0)，F(1，0)，橢圓的右準線方程為x = 4．
根據橢圓的對稱性，當直線PQ⊥x軸時，四邊形MNPQ是等腰梯形，對角線PM、QN的交點在x軸上．此時，直線PQ的方程為x = 1．
由得不妨取P(1，)，Q(1，–)，
故直線AP的方程為y =，將x = 4代入，得N(4，3)，
所以直線QN的方程為．令y = 0，得x = 2，即直線QN與x軸的交點為R(2，0)，
此點恰為橢圓的右頂點．……8分下面只要證明，在一般情況下Q、N、R三點共線即可．
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(4，y₃)，M(4，y₄)，直線PQ的方程為x = my + 1．
由消去x得．
所以．因為A(–2，0)，P(x₁，y₁)，N(4，y₃)三點共線，
所以與共線，所以(x₁ + 2)y₃ = 6y₁，即y₃ =．
由于，
所以=
==．
所以、共線，即Q、N、R三點共線．、……12分同理可證，P、M、R三點共線．
所以，四邊形MNPQ的對角線的交點是定點，此定點恰為橢圓的右頂點．……13分