Question

已知等差數列{a_n}的公差d不為零，首項a₁=2且前n項和為S_n．
（Ⅰ）當S₉=36時，在數列{a_n}中找一項a_m（m∈N），使得a₃，a₉，a_m成為等比數列，求m的值．
（Ⅱ）當a₃=6時，若自然數n₁，n₂，…，n_k，…滿足3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…并且a₁，a₃，a_n1，a_n2，…，a_nk，…是等比數列，求n_k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得公差d=

1

2

，由a₃，a₉，a_m成等比數列，可得關于m的式子，解之可得；
（Ⅱ）由條件可得a_n=2n，a1，a3，an1成等比數列，可得公比q=3，可得ank=2nk，由通項公式解之可得．

解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n}的公差d≠0，a₁=2，S₉=36，
∴36=9×2+

1

2

×9×8d，解之可得d=

1

2

，
∴a₃=3，a₉=6…3分
由a₃，a₉，a_m成等比數列
則

a

2 9

=a3•am，得a_m=12，
又12=2+(m-1)×

1

2

，
∴m=21…7分
（Ⅱ）∵{a_n}是等差數列，a₁=2，a₃=6，∴d=2，∴a_n=2n，
又a1，a3，an1成等比數列，所以公比q=3…11分，
∴ank=a1•qk+1=2•3k+1
又ank是等差數列中的項，∴ank=2nk，
∴2nk=2•3k+1，
∴nk=3k+1(k∈N)…14分．

點評：本題考查等比關系的確定和等比數列的通項公式，屬中檔題．