Question

【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點，F是DD1的中點，
（1）求證：CF∥平面A1DE；
（2）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），

D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），則 =（2，0，2）， =（1，2，0）．

設平面A1DE的法向量是 ，

由 ，取 =（﹣2，1，2）．

由 =（0，﹣2，1），得 ，所以CF∥平面A1DE．

（2）面DEA的一個法向量為 ．

cos＜ ， ＞= ．

∴面角A1﹣DE﹣A的余弦值為 ．

【解析】先分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），再寫出向量 ， ，的坐標，求出平面A1DE的法向量 ．（1）利用向量坐標之間的關系證得 ，從而得出CF∥平面A1DE．（2）利用法向量，利用向量的夾角公式求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．