Question

函數y=sin2x-x，x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值是

π

2

．

Answer 1

分析：利用函數單調性與導數關系，求得y′，再通過y′的正負得出函數的單調區間，在端點值與極值中取最大值為所求的最大值．

解答：解：y=sin2x-x，y′=2cos2x-1，
當x∈[-

π

2

，

π

2

]時，2x∈[-π，π]．
由y′＞0得  -

π

3

＜2x＜

π

3

，即-

π

6

＜x＜

π

6

，f（x）在(-

π

6

，

π

6

)上單調遞增．
由y′＜0得-π＜2x＜-

π

3

，或

π

3

＜2x＜π，即-

π

2

＜x＜-

π

6

或

π

6

＜x＜π．f（x）在(-

π

2

，-

π

6

)，(

π

6

，π)上單調遞減．
最大值在f(-

π

2

)，f(

π

6

)，f(

π

2

)中取得．
在f(-

π

2

)=

π

2

，f(

π

6

)=

3

2

-

π

6

，f(

π

2

)=-

π

2

最大值為f(-

π

2

)=

π

2

故答案為：

π

2

點評：本題是一道利用函數單調性與導數關系，求函數最值的題目．屬于常規性題目．