Question

（本小題滿分12分）  已知數列中，為常數，是的前項和，且是與的等差中項。（1）求數列的通項公式；（2）設數列是首項為1，公比為的等比數列，是的前項和，問是否存在常數，使恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2）

解析:

（1）由已知得：，所以當時。兩式相減得：，整理得：。

方法一：當時，上式可化為，于是

。

又，，均滿足上式， 故。

方法二：上式可化為，說明是常數列，所以

化簡得：。又，也滿足上式，故

（2）因為，所以。又，，所以可化為，整理得：。

令，則當為奇數時，；當為偶數時，。所以，

，故。故存在常數，使恒成立，其范圍是。