Question

已知等差數列{a_n}（n∈N^*）的前n項和為S_n，且a₃=5，S₃=9．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設等比數列{b_n}（n∈N^*），若b₂=a₂．b₃=a₅，求數列{b_n}的前n項和T_n
（3）設bn=

1

anan+1

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，得到關于首項a₁與公差d的方程組，解之即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=2n-1，從而可求得b₂=9及其公比q，于是可得數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）利用裂項法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）依題意得：

a3=a1+2d=5 s3=3a1+ 3×2 2 d=9

解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）∵b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴公比q=3，
∴b₁=1，
∴T_n=

b1(1-qn)

1-q

=

1×(1-3n)

1-3

=

1

2

（3ⁿ-1）；
（3）由（1）知，a_n=2n-1．
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的通項公式與求和公式的應用，突出裂項法求和的考查，屬于中檔題．