Question

已知點A（-2，2）和點B（-3，-1），在直線l：y=2x-1上找一點P，使：
（1）|PA|+|PB|最小；
（2）|PA|²+|PB|²最小．

Answer 1

分析：（1）求A關于直線l：y=2x-1的對稱點的坐標為A′的坐標，可得A′B的方程，聯立方程組可得，交點的坐標，可得答案；（2）由題意可設點P（t，2t-1），
則|PA|²+|PB|²=10t²-2t+22，由二次函數的知識可得結論．

解答：解：（1）設A關于直線l：y=2x-1的對稱點的坐標為A′（a，b），
則

b-2 a-(-2) =- 1 2 b+2 2 =2• a-2 2 -1

，化簡可得

a+2b-2=0 b=2a-8

，
解之可得

a= 18 5 b=- 4 5

，故A′（

18

5

，-

4

5

），
所以A′B的方程為x-33y-30=0，
聯立

x-33y-30=0 y=2x-1

，解之可得

x= 3 65 y=- 59 65

，
故當P（

3

65

，-

59

65

）使|PA|+|PB|最小；
（2）由題意可設點P（t，2t-1），
則|PA|²+|PB|²=（t+2）²+（2t-1-2）²+（t+3）²+（2t-1+1）²
=10t²-2t+22，由二次函數的知識可知
當t=-

-2

2×10

=

1

10

時，函數取最小值，
此時P（

1

10

，-

4

5

）

點評：本題考查直線關于點，關于直線的對稱問題，涉及二次函數的最值的應用，屬中檔題．