Question

已知點A（-2，2）及點B（-8，0），試在直線l：2x-y+1=0上，求出符合下列條件的點P：
（1）使|PA|+|PB|為最小；
（2）使|PA|²+|PB|²為最小．

Answer 1

分析：（1））設A關于直線l的對稱點A′坐標為（x₀，y₀），求出A′，推出A′B的直線方程，然后求出P使|PA|+|PB|為最�。�
（2）設動點P的坐標為（t，2t+1），列出|PA|²+|PB|²，通過二次函數求出最小值時P的坐標．

解答：解：（1）使|PA|+|PB|為最小，只需求A關于直線l的對稱點A′與B的距離最小．
設A關于直線l的對稱點A′坐標為（x₀，y₀），
則

y0-2 x0+2 •2=-1 x0-2 2 ×2- y0+2 2 +1=0

解得

x0=2 y0=0

，
即A′（2，0）
求得A′B的直線方程為：y=0．
求得點P（-

1

2

，0）．…（7分）
（2）設動點P的坐標為（t，2t+1），
則|PA|²+|PB|²=（t+2）²+（2t-1）²+（t+8）²+（2t+1）²=10t²+20t+70
當t=-1時，取得最小值，即P（-1，-1）…（14分）

點評：本題考查與直線關于點、直線對稱的直線方程，點與直線的位置關系的應用，二次函數的最值的求法，考查計算能力，轉化思想．