Question

【題目】已知，給定個(gè)整點(diǎn),其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),從上面的個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；

（Ⅱ）從上面個(gè)整點(diǎn)中任取個(gè)不同的整點(diǎn)，.

（i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,；

（ii）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）列出所有的整點(diǎn)后可得的所有可能值.

（Ⅱ）對于（i），可用反證法，對于（ii），可設(shè)直線上選擇了個(gè)的點(diǎn)，計(jì)算可得諸直線上不同兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的不同個(gè)數(shù)的最小值為，結(jié)合中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)可得至少有一個(gè)和出現(xiàn)兩次，從而可證結(jié)論成立.

解:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，4個(gè)整點(diǎn)分別為.

所以的所有可能值.

（Ⅱ）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，

滿足.

即在直線中至多有一條直線上取多于1個(gè)整點(diǎn)，其余每條直線上至多取一個(gè)整點(diǎn)， 此時(shí)符合條件的整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為.

而，與已知矛盾.

故存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.

（ii）設(shè)直線上有個(gè)選定的點(diǎn).

若，設(shè)上的這個(gè)選定的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足.

由，

知中任意不同兩項(xiàng)之和至少有個(gè)不同的值，這對于也成立.

由于中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)，

而,

可知存在四個(gè)不同的點(diǎn)，

滿足.