Question

設實數x，y 滿足x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．
題設條件“x²+y²+xy=1”有以下兩種等價變形：
①(x+

y

2

)2+(

3

2

y)2=1；
②x²+y²-2xycos120°=1．
請按上述變形提示，用兩種不同的方法分別解答原題．

Answer 1

分析：①將已知等式配方得到(x+

y

2

)2+(

3

2

y)2=1，聯想到同角三角函數的平方關系，進行三角換元：x+

y

2

=cosα，

3

2

y=sinα，從而得到x+y=cosα+

3

3

sinα，利用輔助角公式化簡得x+y=

2 3

3

sin（

π

3

+α），再根據正弦函數的圖象與性質加以計算，可得x+y的最大值．
②由已知等式變形得x²+y²-2xycos120°=1，符合余弦定理的表達式，因此設△ABC中，∠A=120°，AB=x，AC=y且BC=1，利用正弦定理列式計算，可得x+y=

2 3

3

(sinB+sinC)，再根據兩角和與差的三角函數公式化簡，可得x+y=

2 3

3

sin（

π

3

+B），根據B∈（0，

π

3

）利用正弦函數的圖象與性質，可算出x+y的最大值．

解答：解：①對于x²+y²+xy=1，配方可得(x+

y

2

)2+(

3

2

y)2=1，
設x+

y

2

=cosα，

3

2

y=sinα，可得x+y=cosα+

3

3

sinα．
∵cosα+

3

3

sinα=

2 3

3

（sin

π

3

cosα+cos

π

3

sinα）=

2 3

3

sin（

π

3

+α），
∴當

π

3

+α=

π

2

+2kπ（k∈Z）時，sin（

π

3

+α）=1達到最大值，
由此可得x+y=cosα+

3

3

sinα的最大值為

2 3

3

；
②設△ABC中，∠A=120°，AB=x，AC=y，BC=1，
由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2ABACcos120°，即x²+y²-2xycos120°=1．
化簡得x²+y²+xy=1，恰好滿足題干中的等式．
由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

=

BC

sinA

，得

x

sinC

=

y

sinB

=

1

sin120°

=

2 3

3

，
∴x=

2 3

3

sinC，y=

2 3

3

sinB，
可得x+y=

2 3

3

(sinB+sinC)=

2 3

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]
=

2 3

3

(sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB)]=

2 3

3

sin（

π

3

+B），
∵B∈（0，

π

3

），
∴

π

3

+B=

π

2

即B=

π

6

時，x+y=

2 3

3

sin（

π

3

+B）的最大值為

2 3

3

．

點評：本題給出實數x，y 滿足x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．著重考查了三角換元、三角函數的圖象與性質、正余弦定理和函數最值的求法等知識，屬于中檔題．