Question

設實數x，y滿足 

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，則u=

x2+y2

xy

的取值范圍是（　　）

• A、[2，

  5

  2

  ]
• B、[

  5

  2

  ，

  10

  3

  ]
• C、[2，

  10

  3

  ]
• D、[

  1

  4

  ，4]

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，設 z=

x2+y2

xy

，再利用z的幾何意義求最值，z=

x2+y2

xy

表示的是區域內的點與點O連線的斜率．故 z的最值問題即為直線的斜率的最值問題．只需求出直線OQ過可行域內的點A時，從而得到z的最大值即可．

解答：解：作出可行域如圖陰影部分所示：
目標函數 z=

x2+y2

xy

═

1

y x

+ 

y

x

≥2
當且僅當

y

x

=1時，z最小，最小值為：2．
又其中

y

x

可以認為是原點（0，0）與可行域內一點（x，y）連線OQ的斜率．
其最大值為：2，最小值為：

1

3

，
因此 z=

x2+y2

xy

的最大值為

10

3

，
則目標函數 則u=

x2+y2

xy

的取值范圍是[2，

10

3

]
故選C．

點評：巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．