【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且acosC＝（2b﹣c）cosA.
（1）若
3，求△ABC的面積；
（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（
，
）.
【解析】
（1）利用正弦定理可求角A，結(jié)合數(shù)量積
3，可求△ABC的面積；
（2）結(jié)合角之間的關(guān)系，把2cos2B+cos2C化簡(jiǎn)為
，然后結(jié)合角
的范圍可求.
（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，
∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，
∵B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，
∴cosA
，
又∵A∈（0，π），
∴A
，
∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，
∴S△ABCbcsinA
.
（2）∵∠B＜∠C，C
B，可得B∈（0，
），
∴2B
∈（
，
），
∴cos（2B）∈（
，
），
∴2cos2B+cos2C＝1+cos2B
cos2B
cos2（
B）
cos2B
cos2B
sin2B
cos（2B）∈（
，
）.
∴2cos2B+cos2C的取值范圍（，）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)
，
，動(dòng)點(diǎn)
滿足直線
與
的斜率之積為
.記點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求的方程，并說(shuō)明是什么曲線；
(2)若
，
是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線
過(guò)點(diǎn)
，問(wèn)在
軸上是否存在定點(diǎn)
，使得
？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某無(wú)縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管，鋼管有內(nèi)外兩個(gè)口徑，甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為
和
，乙種鋼管內(nèi)外兩個(gè)口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為
和
.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)結(jié)果表明，兩種規(guī)格鋼管每根的長(zhǎng)度
都服從正態(tài)分布
，長(zhǎng)度在
之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準(zhǔn)流入市場(chǎng)，其他長(zhǎng)度的鋼管為正品.
（1）在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機(jī)抽取10根進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1根為廢品的概率；
（2）監(jiān)管部門(mén)規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計(jì)算方式為：若鋼管的內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長(zhǎng)分別為
，標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)分別為
，則“口徑誤差”為
，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“一級(jí)品”“二級(jí)品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是
（正品鋼管中沒(méi)有“口徑誤差”大于
的鋼管），現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機(jī)抽取100根，分別進(jìn)行“口徑誤差”的檢測(cè)，統(tǒng)計(jì)后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：
甲種鋼管 乙種鋼管
已知經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管，其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.3，“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.18，“合格品”的利潤(rùn)率為0.1；經(jīng)銷乙種鋼管，其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.25，“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.15，“合格品”的利潤(rùn)率為0.08，若視頻率為概率.
（ⅰ）若經(jīng)銷商對(duì)甲、乙兩種鋼管各進(jìn)了100萬(wàn)元的貨，
和
分別表示經(jīng)銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤(rùn)，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析經(jīng)銷商經(jīng)銷兩種鋼管的利弊；
（ⅱ）若經(jīng)銷商計(jì)劃對(duì)甲、乙兩種鋼管總共進(jìn)100萬(wàn)元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進(jìn)貨多少萬(wàn)元時(shí)，可使得所獲利潤(rùn)的方差和最��？
附：若隨機(jī)變量
服從正態(tài)分布，則
，
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，CD⊥AB，∠DCE=
，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角∠MEN=
.已知CD=4m，CE=2m.
(1)當(dāng)M，D重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度MN；
(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某高校健康社團(tuán)為調(diào)查本校大學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)，隨機(jī)選取了80名學(xué)生，調(diào)查他們每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），按照
共6組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到男生、女生每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)如下（表1、2），規(guī)定每周運(yùn)動(dòng)15小時(shí)以上（含15小時(shí)）的稱為“運(yùn)動(dòng)合格者”，其中每周運(yùn)動(dòng)25小時(shí)以上（含25小時(shí)）的稱為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.
表1：男生
時(shí)長(zhǎng) |
|
|
|
|
|
|
人數(shù) | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2：女生
時(shí)長(zhǎng) |
|
|
|
|
|
|
人數(shù) | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
（1）從每周運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不小于20小時(shí)的男生中隨機(jī)選取2人，求選到“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率；
（2）根據(jù)題目條件，完成下面
列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為本校大學(xué)生是否為“運(yùn)動(dòng)合格者”與性別有關(guān).
每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)小于15小時(shí) | 每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)不小于15小時(shí) | 總計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
總計(jì) | |||
參考公式：
，其中
.
參考數(shù)據(jù)：
| 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 |
| 0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
平面
，底面
為正方形，且
.若四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球
的球面上，則球的表面積的最小值為_____；當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，二面角
的正切值為_______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，
是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）已知
的內(nèi)切圓半徑的最大值為
，橢圓的離心率為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)的直線
交橢圓
于
兩點(diǎn)，過(guò)
作
軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)
（不與重合）.設(shè)
的外心為
，求證
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了研究不同性別在處理多任務(wù)時(shí)的表現(xiàn)差異，召集了男女志愿者各200名，要求他們同時(shí)完成多個(gè)任務(wù)，包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布.以下結(jié)論，對(duì)志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布圖表理解正確的是（ ）
①總體看女性處理多任務(wù)平均用時(shí)更短；
②所有女性處理多任務(wù)的能力都要優(yōu)于男性；
③男性的時(shí)間分布更接近正態(tài)分布；
④女性處理多任務(wù)的用時(shí)為正數(shù)，男性處理多任務(wù)的用時(shí)為負(fù)數(shù).
A.①④B.②③C.①③D.②④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某少兒游泳隊(duì)需對(duì)隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的仰臥起坐達(dá)標(biāo)測(cè)試.已知隊(duì)員的測(cè)試分?jǐn)?shù)
與仰臥起坐
個(gè)數(shù)
之間的關(guān)系如下：
；測(cè)試規(guī)則：每位隊(duì)員最多進(jìn)行三組測(cè)試，每組限時(shí)1分鐘，當(dāng)一組測(cè)完，測(cè)試成績(jī)達(dá)到60分或以上時(shí)，就以此組測(cè)試成績(jī)作為該隊(duì)員的成績(jī)，無(wú)需再進(jìn)行后續(xù)的測(cè)試，最多進(jìn)行三組；根據(jù)以往的訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)，隊(duì)員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時(shí)測(cè)試的頻率分布直方圖如下：
（1）計(jì)算
值；
（2）以此樣本的頻率作為概率，求
①在本次達(dá)標(biāo)測(cè)試中，“喵兒”得分等于
的概率；
②“喵兒”在本次達(dá)標(biāo)測(cè)試中可能得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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