Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為,上頂點為, 若成等比數列，橢圓上的點到焦點的最短距離為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設為直線上任意一點，過的直線交橢圓于點，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件，算出，再由，求出，寫出橢圓方程；（2）得,設,直線的方程為,聯立直線的方程與橢圓的方程, 消去,根據韋達定理,求出的表達式,利用基本不等式求出最小值．

試題解析：解：（1）易知，， ①

而 ②

又，得，

故橢圓的標準方程為

（2）由（1）知，∵，故，設，

∴，直線的斜率為，

當時，直線的斜率為，直線的方程為；

當時，直線的方程為，也符合方程．

設，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，得消去，得：，，，

當且僅當，即時，等號成立．

∴的最小值為．