Question

【題目】如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）分別取，的中點，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.

（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，

分別計算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計算即可.

（1）證明：分別取，的中點，，連接，，，，.

由平面平面，且交于，平面，有平面，

由平面平面，且交于，平面，有平面

，所以∥，又平面，平面，所以∥平面

，由，有，∥，又平面，平面

，所以∥平面，

由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面

（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系

由面，所以面的法向量可取，

點，點，點，，，

設面的法向量，所以

，取，

二面角的平面角為，則為銳角.

所以