Question

【題目】已知函數為定義在上的偶函數，當時，.

（1）當時，求函數的單調區間;

（2）若函數有兩個零點：求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為,，單調遞增區間為；（2）或

【解析】

根據題意求出函數在上的單調區間,再利用偶函數在對稱區間上單調性相反求出函數在區間上的單調區間即可;

由函數為定義在上的偶函數,只需方程在上有一個根即可,分三種情況,,分別求出時,函數的解析式,利用函數的單調性求出其值域,進而求出實數的取值范圍即可.

（1）由題意可得,當,時，，

令，即,解得，

當時,,所以，

因為函數 在上單調遞減，

所以函數在上單調遞減;

當時,,所以，

因為函數 在上單調遞減,

所以函數在上單調遞增,

所以函數在上單調遞增;

因為函數為定義在上的偶函數,

由偶函數在對稱區間上單調性相反可得,

函數在上單調遞增,在上單調遞減,

故函數單調遞減區間為,，單調遞增區間為.

（2）由題可得,函數有兩個零點，

即方程有兩個不同根，

因為為定義在上的偶函數,其圖象關于軸對稱,

故方程在上有一個根即可.

當時，則,因為，

所以當時,，

所以在上有一個根，

由于在上單調遞減,,

所以,即,

故實數的取值范圍為；

當時，令，解得，

因為函數為上的減函數,

所以當時,,

所以函數為上的減函數,

所以,

當時，,

所以函數為上的增函數，

所以,

要使方程在上有一個根,

只需或，解得或,

故實數的取值范圍為或;

當,時,因為,所以，

所以函數,

因為函數在上單調遞減，

所以函數在上單調遞增,

因為,所以,

即，

故只需，即,

故實數的取值范圍為.

綜上可得，實數的取值范圍為或.