Question

某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11(x＞5)

，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據上述統計規律，請完成下列問題：
（1）寫出利潤函數y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）要使工廠有盈利，求產量x的范圍；
（3）工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？

Answer 1

分析：（1）由題意得G（x）=2.8+x．由R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11，(x＞5)

，f（x）=R（x）-G（x），能寫出利潤函數y=f（x）的解析式．
（2）當0≤x≤5時，由f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；當x＞5時，由f（x）=8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工廠有盈利，產量x的范圍．
（3）當x＞5時，由函數f（x）遞減，知f（x）＜f（5）=3.2（萬元）．當0≤x≤5時，函數f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，當x=4時，f（x）有最大值為3.6（萬元）．由此能求出工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多．

解答：解：（1）由題意得G（x）=2.8+x．…（2分）
∵R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11，(x＞5)

，…（4分）
∴f（x）=R（x）-G（x）
=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

．…（6分）
（2）∵f（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

，
∴當0≤x≤5時，由f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）
當x＞5時，由f（x）=8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．
∴要使工廠有盈利，求產量x的范圍是（1，8.2）．．…（8分）
（3）∵f（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

，
∴當x＞5時，函數f（x）遞減，
∴f（x）＜f（5）=3.2（萬元）．…（10分）
當0≤x≤5時，函數f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
當x=4時，f（x）有最大值為3.6（萬元）．…（14分）
所以當工廠生產4百臺時，可使贏利最大為3.6萬元．…（15分）

點評：本題考查函數知識在生產實際中的具體應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．