Question

某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足R(x)=

-0.4x2+4.2x 11

(0≤x＜5) (x≥5)

，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據上述統計規律，請完成下列問題：
（1）分別寫出G（x）和利潤函數y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？并求出此時每臺產品的售價．

Answer 1

分析：（1）由題意得G（x）=2.8+x．由R(x)=

-0.4x2+4.2x 11

(0≤x＜5) (x≥5)

，f（x）=R（x）-G（x），能寫出利潤函數y=f（x）的解析式；
（2）分別根據函數的單調性求出每一段函數的最大值，再比較，從而求出工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多．

解答：解：（1）由題意得G（x）=2.8+x，
∴f（x）=R（x）-G（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8 8.2-x

(0≤x＜5) (x≥5)

．
（2）當x≥5時，函數f（x）在[0，5]上單調遞減，f（x）_max=f（5）=3.2，
當0≤x＜5時，函數f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
當x=4時，f（x）_max=f（4）=3.6，
∵3.2＜3.6，
∴當x=4時，f（x）取得最大值3.6，
此時每臺售價為

R(4)

400

=0.026（萬元）=260元．            
答：當工廠生產4百臺時，可使贏利最多，此時每臺售價為260元．

點評：本題考查函數知識在生產實際中的具體應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．