【題目】已知函數
，其中
為自然對數的底數，
。
（Ⅰ）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
的值；
（Ⅱ）若
，問函數
有無極值點？若有，請求出極值點的個數；若沒有，請說明理由。
【答案】(Ⅰ)a=1；(Ⅱ)答案見解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意可得f′(x)=aex+(ax1)ex+a，利用導函數研究函數的切線方程確定實數a的值即可；
(Ⅱ)當
時,
，∴
，
設g(x)=ex(x1)+1,則g′(x)=xex，據此可確定
的符號，從而確定函數
有無極值點.
(Ⅰ)由題意得f(x)=(ax1)ex+ax+1，
∴f′(x)=aex+(ax1)ex+a，
∵在點(0,f(0))處的切線與直線xy+1=0平行，
∴切線的斜率為f′(0)=a1+a=1，解得a=1.
(Ⅱ)當時,，
∴
，
設g(x)=ex(x1)+1,則g′(x)=ex(x1)+ex=xex，
則函數
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，
函數
，
據此可得
恒成立，
函數在定義域內單調遞增，函數不存在極值點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，數軸
，
的交點為
，夾角為
，與軸、軸正向同向的單位向量分別是
，
.由平面向量基本定理，對于平面內的任一向量
，存在唯一的有序實數對
，使得
，我們把叫做點
在斜坐標系
中的坐標（以下各點的坐標都指在斜坐標系中的坐標）.
（1）若
，為單位向量，且與的夾角為
，求點的坐標；
（2）若
，點的坐標為
，求向量與的夾角；
（3）若
，求過點
的直線
的方程，使得原點到直線的距離最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（1）求y關于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的數表為“森德拉姆篩”（森德拉姆，東印度學者），其特點是每行每列都成等差數列.在此表中，數字“121”出現的次數為___________.
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | …… |
3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | …… |
4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | …… |
5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | …… |
6 | 11 | 16 | 21 | 26 | 31 | …… |
7 | 13 | 19 | 25 | 31 | 37 | …… |
…… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
。
（Ⅰ）求函數
在區間
上的最大值；
（Ⅱ）設
在（0,2）內恰有兩個極值點，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）設
，方程
在區間
有解，求實數的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等，側面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過球面上任意兩點的大圓有且只有一個
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