Question

【題目】如圖，數(shù)軸，的交點(diǎn)為，夾角為，與軸、軸正向同向的單位向量分別是，.由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，我們把叫做點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)）.

（1）若，為單位向量，且與的夾角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求向量與的夾角；

（3）若，求過(guò)點(diǎn)的直線的方程，使得原點(diǎn)到直線的距離最大.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合為單位向量，且與的夾角為，列式求解；

（2）由題意求出，代入數(shù)量積求夾角公式得答案.

（3）由題意得到A在直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系下坐標(biāo)的關(guān)系，求出直角坐標(biāo)系下使得原點(diǎn)O到直線l的距離最大的直線方程，轉(zhuǎn)化為斜坐標(biāo)系下的方程，即得解.

（1）若，為單位向量，且與的夾角為，

設(shè)，且

代入，得

（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

又

設(shè)向量與的夾角為，則

（3）若，點(diǎn)

由，可得A在直角坐標(biāo)系下得坐標(biāo)為：

因此過(guò)點(diǎn)且使得原點(diǎn)O到直線l的距離最大的直線方程為：

代入：

整理得：

所以過(guò)點(diǎn)的直線的方程，使得原點(diǎn)到直線的距離最大的直線方程為：