Question

【題目】已知函數.

（1）當時，判斷函數的單調性；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

（3）已知，證明.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在區間單調遞增，單調遞減；

（2）；

（3）證明過程見解析

【解析】

（1）先求函數的定義域，再求導數，分別令和即可求出單調性；（2）分離變量得恒成立，轉化為求的最大值，然后求導數判斷的單調性即可求出的最大值，從而求得結果；（3）對兩邊取對數，化簡變形可得，由（2）可知在上單調遞減，結合條件即可證明.

由題意可知，函數的定義域為：且.

（1）當時，，

若，則 ； 若，則 ，

所以函數在區間單調遞增，單調遞減.

（2）若恒成立，則恒成立，

又因為，所以分離變量得恒成立，

設，則，所以，

當時，；當時，，

即函數在上單調遞增，在上單調遞減.

當時，函數取最大值，，所以.

（3）欲證，兩邊取對數，只需證明，

只需證明，即只需證明，

由（2）可知在上單調遞減，且，

所以，命題得證.