Question

【題目】如圖， 中，，，分別為，邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由，分別為，邊的中點，可得，由已知結合線面垂直的判定可得平面，從而得到平面；（2）取的中點，連接，由已知證明平面，過作交于，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值．

（1）因為分別為，邊的中點，

所以，

因為，

所以，，

又因為，

所以平面，

所以平面．

（2）取的中點，連接，

由（1）知平面，平面，

所以平面平面，

因為，

所以，

又因為平面，平面平面，

所以平面，

過作交于，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則， ，．

，，

設平面的法向量為，

則即

則，

易知為平面的一個法向量，

，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值．