Question

某高校組織的自主招生考試，共有1000名同學參加筆試，成績均介于60分到100分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分為4組：第1組[60,70），第2組[70,80），第3組[80,90），第4組[90,100].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在85分（含85分）以上的同學有面試資格.

（Ⅰ）估計所有參加筆試的1000名同學中，有面試資格的人數；

（Ⅱ）已知某中學有甲、乙兩位同學取得面試資格，且甲的筆試比乙的高；面試時，要求每人回答兩個問題，假設甲、乙兩人對每一個問題答對的概率均為   ；

若甲答對題的個數不少于乙，則甲比乙優先獲得高考加分資格.求甲比乙優先獲得高考加分資格的概率.

Answer 1

．解：（Ⅰ）設第組的頻率為，則由頻率分布直方圖知

        …………………………（2分）

        所以成績在85分以上的同學的概率P≈

                                       …………………………………（5分）

        故這1000名同學中，取得面試資格的約有1000×0.38=380人.…（6分）

（Ⅱ）設答對記為1，打錯記為0，則所有可能的情況有：

甲₀₀乙₀₀，甲₀₀乙₁₀，甲₀₀乙₀₁，甲₀₀乙₁₁，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，

甲₁₀乙₁₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，甲₀₁乙₁₁，甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₁₀，

甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₁，共16個………………………………………（9分）

甲答對題的個數不少于乙的情況有：

甲₀₀乙₀₀，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，

甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₀，甲₁₁乙₁₁，共11個……………（11分）

故甲比乙優先獲得高考加分資格的概率為.