Question

甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生（可在高考中加分錄�。�，兩次考試過程相互獨立．根據甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率；
（2）設經過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數為ξ，求隨機變量ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試包括三種情況，這三種情況是互斥的，分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件A₁、A₂、A₃，表示出滿足條件的事件，由互斥事件的概率和相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（2）分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件A，B，C，由題意知變量ξ可能的取值是1、2、3，結合變量對應的事件寫出分布列，做出期望．

解答：解：（1）甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試包括三種情況，這三種情況是互斥的，
分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件A₁、A₂、A₃；
E表示事件“恰有一人通過筆試”
由互斥事件的概率和相互獨立事件同時發生的概率得到
P(E)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38．
（2）分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件A，B，C，
則P（A）=P（B）=P（C）=0.3
由題意知變量ξ可能的取值是0，1、2、3，
結合變量對應的事件寫出分布列，
∴P（ξ=0）=0.7³=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441，
P（ξ=2）=3×0.3²×0.7=0.189，
P（ξ=3）=0.3³=0.027．
∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

點評：本題的第二問也可以這樣解，因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為p=0.3，得到ξ～B（3，，03），根據二項分布的期望公式得到E（ξ）=np=3×0.3=0.9．