Question

函數f(x)=

1，x為有理數 π，x為無理數

，下列結論不正確的（　　）

A．此函數為偶函數

B．此函數是周期函數

C．此函數既有最大值也有最小值

D．方程f[f（x）]=1的解為x=1

Answer 1

A．若x為有理數，則-x也為有理數，∴f（-x）=f（x）=1，
若x為無理數，則-x也無有理數，∴f（-x）=f（x）=π，∴恒有f（-x）=f（x），∴函數f（x）為偶函數．∴A正確．
B．設T為一個正數．當T為無理數時，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；
當T為有理數時，若x為有理數，易知x+kT（k為整數）還是有理數，有f（x+T）=f（x），
若x為無理數，易知x+kT（k為整數）還是無理數，仍有f（x+T）=f（x）．綜上可知，任意非0有理數都是f（x）的周期．此命題也是對的．
C．由分段 函數的表達式可知，當x為有理數時，f（x）=1，當x為無理數時，f（x）=π，
∴函數的最大值為π，最小值為1，∴C正確．
D．當x為有理數時，f（x）=1，則f[f（x）]=f（1）=1，此時方程成立．
當x為無理數時，f（x）=π，則f[f（x）]=f（π）=π，∴D錯誤．
故選：D．