Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，且有Sn=n2+n(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=2n+1(n∈N*)，求數列{

an

bn

}的前n項和T_n；
（3）已知cn=

an

n+1

(n∈N*)，
①若?n∈N^*，使C_n≤k恒成立，求實數k的取值范圍；
②若?n∈N^*，使C_n＜k成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）n=1時，a₁=S₁=2，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）設cn=

an

bn

=

n

2n

，則T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，由此利用錯位相減法能求出數列{

an

bn

}的前n項和T_n．
（3）由Cn=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，畫出函數Cn=2-

2

n+1

的草圖，由此能求出?n∈N^*，使C_n≤k恒成立，實數k的取值范圍和?n∈N^*，使C_n＜k成立，實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵Sn=n2+n(n∈N*)，
∴n=1時，a₁=S₁=2，…（1分）
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，…（2分）
n=1也符合，故an=2n(n∈N*)；…（4分）
（2）設cn=

an

bn

=

n

2n

，
則T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①…（5分）
即

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
得Tn=2-

n+2

2n

．…（8分）
（3）由Cn=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，…（9分）
畫出函數Cn=2-

2

n+1

的草圖，
由圖象知，1≤C_n＜2，…（10分）
①則k≥2，即k∈[2，+∞）；…（12分）
②則k＞1，即k∈（1，+∞）．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列中滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答．