Question

已知點（x，y）是區域

x+2y≤2n x≥0 y≥0

，（n∈N^*）內的點，目標函數z=x+y，z的最大值記作z_n．若數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且點（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上．
（Ⅰ）證明：數列{a_n-2}為等比數列；
（Ⅱ）求數列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知當直線過點（2n，0）時，目標函數取得最大值，故z_n=2n，利用（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上，可得S_n+a_n=2n，再寫一式，兩式相減，化簡可得數列{a_n-2}以-1為首項，

1

2

為公比的等比數列；
（Ⅱ）確定數列的通項，再分組求和，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：由已知當直線過點（2n，0）時，目標函數取得最大值，故z_n=2n
∴方程為x+y=2n
∵（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上，∴S_n+a_n=2n①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2∴2a_n=a_n-1+2，n≥2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2
∵a₁-2=-1，
∴數列{a_n-2}以-1為首項，

1

2

為公比的等比數列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1
∵S_n+a_n=2n，
∴Sn=2n-an=2n-2+(

1

2

)n-1
∴Tn=[0+(

1

2

)0]+[2+(

1

2

)]+…+[2n-2+(

1

2

)n-1]

=[0+2+…+(2n-2)]+[( 1 2 )0+( 1 2 )+…+( 1 2 )n-1]

=

n(2n-2)

2

+

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=n2-n+2-(

1

2

)n-1．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的求和，確定數列是等比數列，求出通項是關鍵．