Question

（2013•福建）如圖，在四棱柱P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（I）當正視方向與向量

AD

的方向相同時，畫出四棱錐P-ABCD的正視圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）；
（II）若M為PA的中點，求證：DM∥平面PBC；
（III）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

分析：（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E為垂足，則四邊形ADCE為矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，
可得AB=6．
由直角三角形中的邊角關系求得PD=AD•tan60°的值，從而得到四棱錐P-ABCD的正視圖．
（II）取PB得中點為N，證明MNCD為平行四邊形，故DM∥CN．再由直線和平面平行的判定定理證得故DM∥
平面PBC．
（III）根據三棱錐D-PBC的體積V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD=

1

3

（S_梯形ABCD-S_△ABD）•PD，運算求得結果．

解答：解：（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E為垂足，
則四邊形ADCE為矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，
由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD•tan60°=4

3

，
四棱錐P-ABCD的正視圖如圖所示：
（II）∵M為PA的中點，取PB得中點為N，則MN平行且等于

1

2

AB，
再由CD平行且等于

1

2

AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD為平行四邊形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC內，而CN在平面PBC內，故DM∥平面PBC．
（III）三棱錐D-PBC的體積V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD
=

1

3

（S_梯形ABCD-S_△ABD）•PD
=

1

3

[

4(3+6)

2

-

1

2

×6×4]×4

3

=8

3

．

點評：本題主要考查簡單空間圖形的三視圖，直線和平面平行的判定定理，用等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題．