Question

（2013•福建）如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點C的坐標為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，連接OB_i，過A_i作x軸的垂線與OB_i，交于點

P

i

(i∈N*，1≤i≤9)．
（1）求證：點

P

i

(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
（2）過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意，求出過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i，B_i的坐標為（10，i），即可得到直線OB_i的方程為y=

i

10

x．聯立方程

x=i y= i 10 x

，即可得到P_i滿足的方程；
（II）由題意，設直線l的方程為y=kx+10，與拋物線的方程聯立得到一元二次方程，利用根與系數的關系，及利用面積公式S_△OCM=S_△OCN，可得|x₁|=4|x₂|．即x₁=-4x₂．聯立即可得到k，進而得到直線方程．

解答：（I）證明：由題意，過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i，B_i的坐標為（10，i），
∴直線OB_i的方程為y=

i

10

x．
設P_i（x，y），由

x=i y= i 10 x

，解得y=

x2

10

，即x²=10y．
∴點

P

i

(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，拋物線E的方程為x²=10y．
（II）由題意，設直線l的方程為y=kx+10，
聯立

y=kx+10 x2=10y

消去y得到x²-10kx-100=0，
此時△＞0，直線與拋物線恒有兩個不同的交點，
設為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=10k，x₁x₂=-100，
∵S_△OCM=4S_△OCN，∴|x₁|=4|x₂|．∴x₁=-4x₂．
聯立

x1+x2=10k x1x2=-100 x1=-4x2

，解得k=±

3

2

．
∴直線l的方程為y=±

3

2

x+10．即為3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．

點評：本題主要考查了拋物線的性質、直線與拋物線的位置關系、三角形的面積等基礎知識，考查了推理能力、轉化與化歸方法、計算能力、數形結合的思想方法、函數與方程得思想方法、分析問題和解決問題的能力．