Question

（2013•福建）如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求證：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）若直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為

6

7

，求k的值
（3）現將與四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）取DC得中點E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側棱AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．（2）通過建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與斜線的方向向量的夾角即可得出；（3）由題意可與左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案
新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）．

解答：（1）證明：取DC的中點E，連接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE²+EC²=（4k）²+（3k）²=（5k）²=BC²，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵側棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AD=A，∴CD⊥平面ADD₁A₁．
（2）解：以D為坐標原點，

DA

、

DC

、

DD1

的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A（4k，0，0），C（0，6k，0），B₁（4k，3k，1），A₁（4k，0，1）．
∴

AC

=(-4k，6k，0)，

AB1

=(0，3k，1)，

AA1

=(0，0，1)．
設平面AB₁C的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AC =-4kx+6ky=0 n • AB1 =3ky+z=0

，取y=2，則z=-6k，x=3．∴

n

=(3，2，-6k)．
設AA₁與平面AB₁C所成角為θ，則sinθ=|cos＜

AA1

，

n

＞|=

| AA1 • n |

| AA1 | | n |

=

6k

36k2+13

=

6

7

，解得k=1，故所求k=1．
（3）由題意可與左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．
寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）=

72k2+26k，0＜k≤ 5 18 36k2+36k，k＞ 5 18

點評：本題主要考查了線線、線面的位置關系、通過建立空間直角坐標系利用法向量求線面角、柱體的定義積表面積、勾股定理的逆定理等基礎知識，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力及化歸與轉化能力．