Question

（滿分14分）如圖在平面直角坐標系中，分別是橢圓的左右焦點，頂點的坐標是，連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點，連接.

（1）若點的坐標為，且，求橢圓的方程；
（2）若，求橢圓離心率的值.

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）求橢圓標準方程，一般要找到關系的兩個等量關系，本題中橢圓過點，可把點的坐標代入標準方程，得到一個關于的方程，另外，這樣兩個等量關系找到了；（2）要求離心率，就是要列出關于的一個等式，題設條件是，即，，要求，必須求得的坐標，由已知寫出方程，與橢圓方程聯立可解得點坐標，則，由此可得，代入可得關于的等式，再由可得的方程，可求得.
試題解析：（1）由題意，，，，又，∴，解得．∴橢圓方程為．
（2）直線方程為，與橢圓方程聯立方程組，解得點坐標為，則點坐標為，，又，由得，即，∴，化簡得．
【考點】橢圓標準方程，橢圓離心率，直線與直線的位置關系．