Question

在數列{a_n}中，a₁＝1，＝＋．
(1)設b_n＝，求數列{b_n}的通項公式；
(2)求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

(1) b_n＝2－ (2) n(n＋1)＋－4

(1)由＝＋可知b_n＋1＝b_n＋,然后可利用疊加法求b_n.
(2)再利用b_n＝可求出,然后再利用分組求和和錯位相減法求和即可．
解：(1)由已知得b₁＝a₁＝1且＝＋，
即b_n＋1＝b_n＋，
從而b₂＝b₁＋，
b₃＝b₂＋，
…
b_n＝b_n－1＋ ( n≥2)，
于是b_n＝b₁＋＋＋…＋，
＝2－ ( n≥2)，     ………………4分
又b₁＝1，      ………………5分
∴{b_n}的通項公式b_n＝2－    .………………6分
(2)由(1)知a_n＝n·b_n＝2n－，    ………………7分
令T_n＝＋＋＋…＋，
則2T_n＝2＋＋＋…＋，   ………………8分
作差得：
T_n＝2＋(＋＋…＋)－＝4－，    ………………10分
∴S_n＝(2＋4＋6＋…＋2n)－T_n
＝n(n＋1)＋－4. ………………12分
說明：各題如有其它解法可參照給分．