Question

（2009•金山區二模）如圖，在三棱錐B-ACO中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO，∠BAO=60°，E是AC的中點，三棱錐B-ACO的體積為

3

6

．
（1）求三棱錐B-ACO的高；
（2）在線段AB上取一點D，當D在什么位置時，

DC

和

OE

的夾角大小為arccos

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意的BO⊥平面ACO，即BO就是三棱錐B-ACO的高，然后根據體積建立等式關系，解之即可求出所求；
（2）以O為原點，OA為x軸，OC為y軸，OB為z軸，建立空間直角坐標系，設D（x，0，

3

（1-x）），設

DC

和

OE

的夾角為θ，則coaθ=

DC •  OE

/ DC /×/ OE /

=

1

4

建立等式關系，解之即可求出x的值，從而可判定點D的位置．

解答：解：（1）由題意的BO⊥平面ACO，即BO就是三棱錐B-ACO的高，…（2分）
在Rt△ABO中，設AO=a，∠BAO=60°，所以BO=

3

a，
CO=a，所以V_B-ACO=

1

3

×

1

2

×AO×BO×CO=

3

6

a³=

3

6

．
所以a=1，所以三棱錐的高BO為

3

．…（4分）
（2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系…（5分）
設D（x，0，

3

（1-x）），則C（0，1，0），E（

1

2

，

1

2

，0 ）

DC

=（-x，1，

3

（ x-1）），

OE

=（

1

2

，

1

2

，0）…（10分）
設

DC

和

OE

的夾角為θ
則coaθ=

DC •  OE

/ DC /×/ OE /

=

1 2 (1-x)

x2+1+3(x-1)2 2 2

=

1

4

…（12分）
解之得，x=2（舍去）或x=

1

2

，
所以當D在AB的中點時，

DC

和

OE

的夾角大小為arccos

1

4

．…（14分）

點評：本題主要考查了錐體的體積，以及利用空間向量解決空間兩異面直線所成角，同時考查了空間想象能力，推理論證的能力，屬于中檔題．