Question

【題目】如圖所示，已知點A（1，0），D（﹣1，0），點B，C在單位圓O上，且∠BOC= ．
（Ⅰ）若點B（ ， ），求cos∠AOC的值；
（Ⅱ）設∠AOB=x（0＜x＜ ），四邊形ABCD的周長為y，將y表示成x的函數，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵B（ ， ）， ∴cos∠AOB= ，sin∠AOB= ；
∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）
=cos∠AOBcos∠BOC﹣sin∠AOBsin∠BOC
= × ﹣ ×
= ；
（Ⅱ）等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin =2sin ，
等腰三角形COD中，求得
|CD|=2|OC|sin =2sin（ ﹣ ）；
∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|
=3+2sin +2sin（ ﹣ ）
=3+2sin（ + ）；
由0＜x＜ 得，當 + = ，
即x= 時，y取得最大值5
【解析】（Ⅰ）由三角函數的定義，寫出cos∠AOB與sin∠AOB的值，再計算cos∠AOC的值；（Ⅱ）根據等腰三角形的知識，求出|AB|、|CD|的值，再寫出函數y的解析式，求出y的最大值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角函數的最值的相關知識，掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．