Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若 ，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意 都有恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù) ，求證：

．

Answer 1

【答案】（1）在上遞增；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由于，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出，考慮二次求導(dǎo)，求出的最值，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意可知當(dāng)時(shí)，，可通過討論研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和最值，得到的最小值，得到參數(shù)的取值范圍；（3）由題意可得，可考慮證明兩個(gè)和為的自變量對應(yīng)的函數(shù)值的積為定值，通過整理并放縮可實(shí)現(xiàn)上述設(shè)想，最終得證.

試題解析：(1),令,則,

則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.

所以有,所以

(2)當(dāng)時(shí),,令,則,則單調(diào)遞增,

當(dāng)即時(shí),,成立;

當(dāng)時(shí),存在,使,則減,則當(dāng)時(shí),,不合題意.綜上

(3），

，

,……,．

由此得，

故（）