Question

【題目】已知為坐標原點， ， 是橢圓上的點，且，設動點滿足．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點，求三角形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設點， ， ，結合整理變形可得動點的軌跡的方程為．

(Ⅱ)聯立直線與橢圓方程可得，理由弦長公式有 ，且點到直線的距離，據此可得面積函數： ，即三角形面積的最大值為．

試題解析：

（Ⅰ）設點， ， ，

則由，得，

即， ，因為點在橢圓上，

所以， ，

故

，

因為，

所以動點的軌跡的方程為．

（Ⅱ）將曲線與直線聯立： ，消得： ，

∵直線與曲線交于兩點，設， ，

∴ ，又∵，得，

， ，

∴ ，

∵點到直線的距離，

∴

，當時等號成立，滿足（*）

∴三角形面積的最大值為．