Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓與軸的非負(fù)半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，連接，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為，則可求得（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為o．故可設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，由，消去得，求弦長(zhǎng)|BP|，

將式子中的換成，得設(shè)，則． 利用基本不等式即得解.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，故，

所以，橢圓方程為．

（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為o．

故可設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，

由，消去得，

則，將式子中的換成，得： ．

，

設(shè)，則．

故 ，取等條件為即，

即，解得時(shí)， 取得最大值．