Question

已知雙曲線W：

x2

a2

-

y2

b2

=′1 (a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，點N（0，b），右頂點是M，且

MN

•

MF2

=-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點Q（0，-2）的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），

MN

•

MF2

=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，由∠NMF₂=120°，知∠NMF₁=60°，故b=

3

a，c=

a2+c2

=2a，由此能求出雙曲線的方程．
（Ⅱ）直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-2 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x²+4kx-7=0，由此入手，能夠求出的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），

MN

•

MF2

=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，則∠NMF₁=60°，
∴b=

3

a，∴c=

a2+c2

=2a，
解得a=1，b=

3

，∴雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-2 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x²+4kx-7=0，
則

3-k2≠0 △=16k2+28(3-k2)＞0 x1+x2= 4k k2-3 ＞0 x1x2= 7 k2-3 ＞0

，
解得

3

＜k＜

7

．     ①（6分）
∵點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，則

HA

•

HB

＞0，

HA

•

HB

=(x1-7，y1)•(x2-7，y2)
=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）•

7

k2-3

-（7+2k）•

4k

k2-3

+53
=

7k2+7-8k2-28k+53k2-159

k2-3

＞0，解得k＞2．  ②
由①、②得實數k的范圍是2＜k＜

7

，（8分）
由已知λ=

S△AQH

S△BQH

=

|AQ|

|BQ|

，
∵B在A、Q之間，則

QA

=λ

QB

，且λ＞1，
∴（x₁，y₁+2）=λ（x₂，y₂+2），則x₁=λx₂，
∴

(1+λ)x2= 4k k2-3 λx22= 7 k2-3

，
則

(1+λ)2

λ

=

16

7

•

k2

k2-3

=

16

7

(1+

3

k2-3

)，（10分）
∵2＜k＜

7

，∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

64

7

，解得

1

7

＜λ＜7，又λ＞1，
∴1＜λ＜7．
故λ的取值范圍是（1，7）．（13分）

點評：考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．