Question

【題目】已知橢圓C1： + =1（a＞0，b＞0）的離心率為 ，其右焦點到直線2ax+by﹣ =0的距離為 ．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）過點P（0，﹣ ）的直線l交橢圓C1于A，B兩點．
①證明：線段AB的中點G恒在橢圓C2： + =1的內部；
②判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓C1： + =1（a＞b≥1）的離心率 ，

其右焦點到直線2ax+by﹣ =0的距離為 ，

可得e= = ，a2﹣b2=c2， = ，

解得a= ，b=c=1，

則橢圓C1的方程為 +y2=1

（2）解：①證明：橢圓C2的方程為 +x2=1，

當直線l垂直于x軸時，AB的中點為（0，﹣ ）在橢圓C2內部．

當直線l不垂直于x軸時，設直線方程為y=kx﹣ ，代入 +y2=1，

并整理，得（1+2k2）x2﹣ kx﹣ =0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2= ，

即有y1+y2=k（x1+x2）﹣ =﹣ ，

可得G（ ，﹣ ），

由 + =

= ＜1恒成立，

故點G恒在橢圓C2內部；

②當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，

當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+（y+ ）2= ，

由 ，得 ，

由此可知若以AB為直徑的圓恒過定點，則該定點必為Q（0，1），

下面證明Q（0，1）適合題意．

由①知：x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

可得 =（x1，y1﹣1）（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）

=x1x2+（kx1﹣ ）（kx2﹣ ）=（1+k2）x1x2﹣ k（x1+x2）+

=（1+k2）（﹣ ）﹣ k + =

=0，

即有 ⊥ ，即Q（0，1）在以AB為直徑的圓上．

綜上，以AB為直徑的圓恒過定點（0，1）

【解析】（1）由橢圓的離心率 ，其右焦點到直線2ax+by﹣ =0的距離為 ，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程；（2）①橢圓C2的方程為 +x2=1，設直線l方程為y=kx﹣ ，代入 +y2=1，得（1+2k2）x2﹣ kx﹣ =0．由此利用韋達定理能證明點G恒在橢圓C2內部；②當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+（y+ ）2= ，若以AB為直徑的圓恒過定點，則該定點必為Q（0，1），再證明Q（0，1）適合題意，從而以AB為直徑的圓恒過定點（0，1）