Question

【題目】已知二次函數的圖象過點，對任意滿足，且有最小值為

（1）求的解析式；

（2）求函數在區間[0,1]上的最小值，其中；

（3）在區間[－1,3]上，的圖象恒在函數的圖象上方，試確定實數的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題中條件可得函數的對稱軸是，再根據函數最小值為可設出函數方程，再將代入可得解析式；

（2）先得出函數含未知數的解析式，討論的取值范圍，在對應范圍內分析單調性，得出最小值；

（3）函數的圖象在的上方，則在上恒成立，即，即求函數的最小值，從而求得結果.

（1）由題知二次函數圖象的對稱軸為x＝，又最小值是，

則可設，又圖象過點(0,4)，解得a＝1.

所以；

（2）h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋4－t2，其對稱軸x＝t.

①t≤0時，函數h(x)在[0,1]上單調遞增，最小值為h(0)＝4；

②當0<t<1時，函數h(x)的最小值為h(t)＝4－t2；

③當t≥1時，函數h(x)在0,1]上單調遞減，最小值為h(1)＝5－2t，

所以；

（3）由已知：f(x)>2x＋m對x∈恒成立，

∴m<x2－5x＋4對x∈恒成立．

∴m<(x2－5x＋4)min (x∈)．

∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈上的最小值為，

∴m<.