Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=x+ （x＞0）都在x=x0處取得最小值．
（1）求f（x0）﹣g（x0）的值．
（2）設函數h（x）=f（x）﹣g（x），h（x）的極值點之和落在區間（k，k+1），k∈N，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，x＞0，

∴f′（x）=1+lnx，

令f′（x）=1+lnx=0，解得x= ，

當x＞ 時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

∴當x= ，且f（ ）=﹣ ，

∵f（x）=xlnx，g（x）=x+ （x＞0）都在x=x0處取得最小值，

∴x0= ，

∵g（x）=x+ （x＞0），

∴g′（x）=1﹣ ，

∴g′（ ）=1﹣ =0，

解得a=e2，

∴g（x0）=g（ ）= + ，

∴f（x0）﹣g（x0）=﹣ + + =

（2）解：函數h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣x﹣ ，

∴h′（x）=1+lnx﹣1+ =lnx﹣ ，

設φ（x）=lnx﹣ ，

∴φ′（x）= + ＞0，

∴h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴h′（1）h（e）＜0，

∴h′（x）在（1，e）上存在唯一的零點，

∵h（x）的極值點之和落在區間（k，k+1），

∴k=1

【解析】（1）先利用導數求出f（x）的極值點和極值，繼而求出a的值，再求出g（x）的極值，問題得以解決，（2）先求導得到h′（x）=lnx﹣ ，再根據函數零點存在定理即可判斷零點所在的區間．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．