Question

已知函數f（x）=

sinx， 當sinx≥cosx cosx， 當sinx＜cosx

，現有下列四個命題：
p₁：函數f（x）的值域是[-1，1]；
p₂：當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）時，f（x）＜0；
p₃：當且僅當x=2kπ+

π

2

（k∈Z）時，該函數取得最大值1；
p₄：函數f（x）是以2π為最小正周期的周期函數．
其中為真命題的是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：由題意作出此分段函數的圖象，由圖象研究該函數的性質，依據這些性質判斷四個命題的真假，可得答案．

解答： 解：函數f（x）=

sinx，當sinx≥cosx cosx，當sinx＜cosx

的圖象如下圖中實線部分．觀察圖象可知：

函數f（x）的值域是[-

2

2

，1]，故p₁錯誤；
當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）時，f（x）＜0，故p₂正確；
當且僅當x=2kπ或x=2kπ+

π

2

（k∈Z）時，該函數取得最大值1，故p₃錯誤；
函數f（x）是以2π為最小正周期的周期函數，故p₄正確．
故真命題有：p₂，p₄，
故答案為：p₂，p₄

點評：本題考點是三角函數的最值，本題是函數圖象的運用，由函數的圖象研究函數的性質，并以由圖象研究出的結論判斷和函數有關的命題的真假．