Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，則方程f（x）=g（x）在區間[-5，1]上的所有實根之和為

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用

分析：化簡g（x）的表達式，得到g（x）的圖象關于點（-2，1）對稱，由f（x）的周期性，畫出f（x），g（x）的圖象，通過圖象觀察[-5，1]上的交點的橫坐標的特點，求出它們的和．

解答： 解：由題意知g(x)=

2x+5

x+2

=

2(x+2)+1

x+2

=2+

1

x+2

，函數f（x）的周期為2，則函數f（x），g（x）在區間[-5，1]上的圖象如下圖所示：
由圖形可知函數f（x），g（x）在區間[-5，1]上的交點為A，B，C，易知點B的橫坐標為-3，若設C的橫坐標為t（0＜t＜1），則點A的橫坐標為-4-t，所以方程f（x）=g（x）在區間[-5，1]上的所有實數根之和為-3+（-4-t）+t=-7．
故答案為：-7．

點評：本題考查分段函數的圖象和運用，考查函數的周期性、對稱性和應用，同時考查數形結合的能力，屬于中檔題．