Question

已知sin2(n+1)θ ＝ sin2nθ+sin2(n-1)θ, 且其中(n+1)θ, nθ, (n-1)θ是三角形的三內角, 則n的整數值是_________.

Answer 1

答案：2
解析：

解: 已知方程可化為: sin2(n+1)θ-sin2(n-1)θ ＝ sin2nθ,[sin(n+1)θ+sin(n-1)θ][sin(n+1)θ-sin(n-1)θ]＝sin2nθ 化簡后, 得sin2nθ·sin2θ ＝ sin2nθ ∵(n+1)θ、(n-1)θ、nθ是三角形的三個內角. ∴(n+1)θ+(n-1)θ+nθ ＝ π, ∴3nθ ＝ π, nθ ＝  ∴sin2θ·sinπ ＝ sin2   sin2θ ＝ sin ∴2θ ＝ kπ+(-1)k ,  (k∈Z) 由此得 2θ ＝ ,或 2θ ＝ π 當θ ＝ 時, n ＝ 1不合題意, ∴當θ ＝時,n ＝ 2為所求.

提示：

先把原方程轉化為 sin2(n+1)θ-sin2(n-1)θ ＝ sin2nθ, 再用平方差公式.