Question

（選修4-5：不等式選講）
已知關于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集為R，（1）求實數a的取值范圍．（2）證明：若x-1＜0，則a∈R．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值不等式的等價轉化形式求解二次不等式即可．
（2）利用x-1＜0，轉化不等式即可證明結論．

解答：解：（1）若x-1≥0，則（x-a）²＞（x-1）²對任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即（a-1）[（a+1）-2x]＞0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，（4分）
所以

a-1＞0 a+1＜2x

或

a-1＜0 a+1＞2x

對任意的x∈[1，+∞）恒成立，（8分）
解得a＜1．           （10分）
（2）證明：因為x-1＜0，所以1-x＞0，不等式|x-a|+1-x＞0，轉化為：|x-a|≥0，顯然a∈R．不等式恒成立．

點評：本題考查絕對值不等式的求法，考查等價轉化思想的應用，考查計算能力．