Question

（2013•泰州三模）選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，n∈N^*．求證：

an+1+bn+1

an+bn

≥

ab

．

Answer 1

分析：先用分析法證明

an+1+bn+1

an+bn

≥

a+b

2

，再利用基本不等式，即可證得

an+1+bn+1

an+bn

≥

ab

成立．

解答：證明：先證

an+1+bn+1

an+bn

≥

a+b

2

，
只要證 2（aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹）≥（a+b）（aⁿ+bⁿ），
即要證 aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹-aⁿb-abⁿ≥0，
即要證 （a-b）（aⁿ-bⁿ）≥0，…（5分）
若 a≥b，則a-b≥0，aⁿ-bⁿ≥0，所以，（a-b）（aⁿ-bⁿ）≥0．
若a＜b，則a-b＜0，aⁿ-bⁿ＜0，所以（a-b）（aⁿ-bⁿ）＞0，
綜上，可得 （a-b）（aⁿ-bⁿ）≥0，從而

an+1+bn+1

an+bn

≥

a+b

2

．…（8分）
因為

a+b

2

 ≥

ab

，所以

an+1+bn+1

an+bn

≥

ab

．                   …（10分）

點評：本題主要考查用分析法證明不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題．