Question

【題目】已知函數 ．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）證明：若a＜5，則對任意 ，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），

，

∵a﹣1≥1

當a﹣1＞1時，即a＞2時，f（x）的單調增區間為（0，1），（a﹣1，+∞）；

單調減區間為（1，a﹣1）．

當a﹣1=1時，即a=2時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）

（2）要證：對任意 ，

有 ．

不防設x1＞x2，

即證f（x1）﹣f（x2）＞﹣（x1﹣x2）

即證f（x1）+x1＞f（x2）+x2

設 ，x＞0

即證當x1＞x2時，g（x1）＞g（x2）．

即證g（x）在（0，+∞）單調遞增．

∵

而△=（a﹣1）2﹣4（a﹣1）=（a﹣1）（a﹣5）

又∵2≤a＜5，

∴△＜0，

∴x2﹣（a﹣1）x+（a﹣1）＞0恒成立，

∴ 對x∈（0，+∞）恒成立，

∴g（x）在（0，+∞）單調遞增．

∴原題得證．

【解析】（1）由 ，得當a﹣1＞1時，即a＞2時，f（x）的單調增區間為（0，1），（a﹣1，+∞）；單調減區間為（1，a﹣1）．當a﹣1=1時，即a=2時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）（2）要證：對任意 ，有 ．即證f（x1）+x1＞f（x2）+x2設 ，x＞0，即證g（x）在（0，+∞）單調遞增．由 ，由g（x）在（0，+∞）單調遞增，從而原題得證．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．