Question

【題目】已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	﹣2	4
y	﹣2	0	﹣4

（1）求C1、C2的標準方程；
（2）請問是否存在直線l滿足條件：①過C2的焦點F；②與C1交不同兩點M、N且滿足 ？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線C2：y2=2px（p≠0），則有 ，據此驗證4個點知（3，﹣2 ）、（4，﹣4）在拋物線上，易求C2：y2=4x

設C1： ，把點（﹣2，0）（ ）代入得：

解得

∴C1方程為

（2）解：容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；

當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F（1，0），

設其方程為y=k（x﹣1），與C1的交點坐標為M（x1，y1），N（x2，y2）

由 消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

于是 ， ①

y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]

即 ②

由 ，即 ，得x1x2+y1y2=0（*），

將①、②代入（*）式，得 ，解得k=±2；

所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．

【解析】（1）設拋物線C2：y2=2px（p≠0），則有 ，據此驗證4個點知（3，﹣2 ）、（4，﹣4）在拋物線上，易求C2：y2=4x，設C1： ，把點（﹣2，0）（ ）代入得： ，由此能夠求出C1方程．（2）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設其方程為y=k（x﹣1），與C1的交點坐標為M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韋達定理能夠導出存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．